Corrigé n°3 - Déterminer la constante d'acidité d'un couple acide-base

Q1. La réaction dont la constante d'acidité du couple est la constante d'équilibre est la réaction de acide-base entre l'acide du couple et l'eau. L'équation de la réaction est donc  : \(\mathrm{BH_2(aq)+H_2O(\ell)\rightleftarrows BH^-(aq)+H_3O^+(aq)}\)

Le quotient de réaction à l'état d'équilibre du système est :
\(Q_\text{r,éq}=\frac{(a_\mathrm{BH^-(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_3O^+(aq),éq})^{1}}{(a_\mathrm{BH_2(aq),éq})^{1}\times(a_\mathrm{H_2O(\ell),éq})^{1}}\) soit \(Q_\text{r,éq}=\frac{\frac{[\mathrm{BH^-]}}{\text{c°}}\times\frac{[\mathrm{H_3O^+]}}{\text{c°}}}{\frac{[\mathrm{BH_2]}}{\text{c°}}\times1}=\frac{\mathrm{[BH^-]\times \mathrm{[H_3O^+]}}}{[\mathrm{BH_2]}\times{\text{c°}}}\) 

Par définition, la constante d'acidité est égale à la valeur prise par le quotient de réaction à l'équilibre, donc il vient : \(\frac{\mathrm{[BH^-]\times \mathrm{[H_3O^+]}}}{[\mathrm{BH_2]}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

Q2. D'après la question précédente, on a \(\frac{\mathrm{[BH^-]\times \mathrm{[H_3O^+]}}}{[\mathrm{BH_2]}\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

En appliquant la fonction logarithme décimal des deux côtés de l'équation, on a :

\(\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[BH^-]\times \mathrm{[H_3O^+]}}}{[\mathrm{BH_2]}\times{\text{c°}}})=\mathrm{log}(K_\text{A})\) soit \(\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[BH^-]}}{[\mathrm{BH_2]}})+\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]}}}{{\text{c°}}})=\mathrm{log}(K_\text{A})\).

En prenant l'opposé de tous les termes, il vient \(-\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[BH^-]}}{[\mathrm{BH_2]}})-\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]}}}{{\text{c°}}})=-\mathrm{log}(K_\text{A})\).

On rappelle que, par définition :

•  \(\mathrm{pH} =-\mathrm{log}(\frac{{ \mathrm{[H_3O^+]}}}{{\text{c°}}})\) ;
• \(\mathrm{pK_A}=-\mathrm{log}(K_\text{A})\).
  

On a donc \(-\mathrm{log}(\frac{\mathrm{[BH^-]}}{[\mathrm{BH_2]}})+\mathrm{pH}=\mathrm{pK_{A}}\), et on retrouve bien la relation demandée :\(\mathrm{pH=pK_A+log(\frac{[BH^-]}{[BH_2]})}\).

Q3. À l'équivalence, le réactif titré et le réactif titrant ont été introduits dans les proportions stœchiométriques.

Q4. Lors d'un suivi pH-métrique d'un titrage acide-base, l'équivalence se traduit par une variation brusque du pH. Celle-ci se traduit par un extremum sur la courbe de la dérivée du pH par rapport au volume en fonction du volume de solution titrante ajouté. On a donc, par lecture graphique, \(V_\text{E}=14,8\text{ mL}\).

Q5. À la demi-équivalence, la moitié de ce qui est nécessaire pour transformer tout le BH₂ en BH⁻ a été introduit. Il reste donc \(n_\mathrm{BH_2, 1/2}=\frac{n_\mathrm{BH_2,i}}{2}\).

De plus, d'après l'équation de réaction, une mole de BH₂ donne une mole de BH⁻ . Donc, à la demi-équivalence, on a formé : \(n_\mathrm{BH^-, 1/2}=\frac{n_\mathrm{BH_2,i}}{2}\).
Ainsi, \(n_\mathrm{BH_2, 1/2}=n_\mathrm{BH^-, 1/2}\) et on a bien [BH⁻] = [BH₂] à la demi-équivalence.

Q6. Si on reprend l'expression  \(\mathrm{pH=pK_A+log(\frac{[BH^-]}{[BH_2]})}\), comme on a \([\mathrm{BH_2}]=[\mathrm{BH^-}]\)à la demi-équivalence, il vient  \(\mathrm{pH=pK_A+log(1)}\) soit \(\mathrm{pH=pK_A}\).

Par lecture graphique, on a pour \(V=7,4 \text{ mL}\) un pH de 3,9. On a donc \(\mathrm{pK_A=3,9}\).

Q7. On calcule le rapport \(\frac{4,1-3,9}{0,3}=0,7<2\).

La valeur trouvée est proche de celle attendue à moins de deux incertitudes-type : on peut raisonnablement conclure que cela est compatible avec la présence de BBP dans le produit de synthèse purifié.